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[数学] 【搬运数吧】看似寻常最奇崛:一些“简单”开放问题进展

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发表于 2013-12-6 16:15:32 | 显示全部楼层 |阅读模式


(御坂网络讯)如果问到你一个接受过高中数学训练就能理解的猜想,你会想到哪些?是诗人与音乐家共同创造的哥德巴赫猜想?还是角谷那举世闻名的3x+1猜想?在孪生素数猜想和弱哥德巴赫猜想有重大突破的今天,这些实在是太过寻常了。数学的世界里,还有些同样“简单”,但却不容易回答的问题。在这个帖子里,笔者罗列一些长时间开放的“简单”问题,希望广大屏幕前的观众能够集思广益。

本帖已经过“民科”团队认证,阅读本贴不慎有加入该团队的可能



——


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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:19:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 easymath3 于 2013-12-6 16:23 编辑

完美长方体是否存在?



什么是完美(Perfect)的?在数学家看来,一个物体,如果拥有了一些有意思,乃至优美的性质,那它就是完美。比如完全平方(Perfect Square)乃至完全集(Perfect set)。但什么是完全(完美)长方体呢?

在二维里,我们知道毕达哥拉斯定理,也就是一个长方形的对角线c的平方等于它两条边的平方和。三个数是整数的长方形在古希腊时代就有了完美的解答,但是对三维的情况呢?

一个完美的长方体,它的每条边都是整数,而且每个长方形的对角线,乃至体对角线都是整数。而就是这样简单的问题,至今悬而未决。

在现在,有满足某些条件,但不满足所有条件的解,比如a=672,b=153,c=104,很容易得出d_{ac}=680,d_{bc}=185,d_{abc}=697,但不幸的是d_{ab}=3√52777.

一些计算表明,如果这种长方体存在,它的一边是奇数,这为计算机搜索提供了方便之门。但是直至搜索到10^10大的奇数,任然没有找到问题的解答,我们不尽考虑,是否这样的问题无解?

网页:http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html


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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:21:34 | 显示全部楼层
几何图形里的背包问题





学过计算机的同学应该都知道大名鼎鼎的背包问题:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高?

数学家也会考虑一些类似的问题,但不同的是,有时这些问题变成了几何图形上的覆盖。例如这样一个猜想:

在一个1×1的正方形内,是否能够将1/k×1/(k+1)的长方形放入(k从1到无穷大),而且这些长方形彼此不重叠?

学过裂项法就知道1/1×1/2+1/2×1/3+...=1,但是就是这样一个简单的公式,却不能简单地用这样一组几何图形的覆盖来表示。

最近的研究突破:D. Jennings声称能够将这样一组长方形放入(133/132)^2的正方形中,而V. Bálint似乎有更好的结果,就是他能够把这些长方形放到更小的“背包”,也即(501/500)^2的正方形中。但对于最一般的1却不能有明确的解答






同样的,赫赫有名的巴塞尔问题也能够占有一席之地。1/1+1/2^2+1/3^2..=pi^2/6.
上图是把这些形状1/2^2,1/3^2..的正方形放在(5/6)^2里的方法,已经得到完美的解决。
但我们能不能把1,1/2^2,1/3^2...的正方形放在一个1*(pi^2/6)的长方形里呢?有人利用计算机将前1*10^5个,也就是小到(1/10^5)^2的正方形放入而不导致重叠,但是,这能够说明一般的情况也成立吗?

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:24:34 | 显示全部楼层
家具在过道里的移动




沙发移动问题是由澳大利亚-加拿大双重国籍数学家Leo Moser在1966年提出的。也许是他搬家时候出了点小故障,他的家具没法从狭窄的楼道中挪出去。于是,他提出了这样一个问题:什么样的二维形状,能够从一个有单位长度过道的L字形拐角内挪出,而且有最大面积?

这个最大面积,被称为“移动沙发”常数(似乎沙发才能有这样的形状!),却难以确定下来。John Hammersley得出了这个面积的上下界,下界是π/2+2/π,而上界是2√2,但这个常数的确定值现在仍然无人给出。

详情见维基词条:Moving Sofa Problem

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:26:42 | 显示全部楼层
“吾乡-朱加”猜想——奇幻的素数




怎么样判断一个数是不是素数?早至古希腊时代埃拉托斯特尼就提出了他的筛法,而吾乡-朱加猜想也提出了一种方法。(当然不是那么友好)
1990年,吾乡孝视提出p是素数当且仅当



其中B_{p-1}是伯努力数。

但之后的研究发现,这个猜想其实与朱塞佩·朱加(Giuseppe Giuga)在1950年的猜想是等价的,也就是p是素数当且仅当



是否存在一个合数满足吾乡-朱加猜想的条件,从而这个猜想不成立?证明表明,如果一个合数满足这个条件,那它必须既是卡迈克尔数,也是朱加数。而(Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996)说明这个合数至少有13,800位。

尽管这个定理与威尔逊定理很像,但现在的我们却并不知道它的答案。

详情见维基词条Agoh–Giuga conjecture

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:30:48 | 显示全部楼层
拉马努金式狂想




斯里尼瓦瑟·拉马努金,一个传奇的印度数学家,也是近代最伟大的数学家之一。他没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式,以及整数分拆。惯以直觉(或者是跳步)导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的)。他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。1997年,《拉马努金期刊》(Ramanujan Journal)创刊,用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。

拉马努金以他天马行空式的数学公式而闻名,而其中最著名的公式之一有



这个公式的特点是它收敛相当快速。例如,只取一项(n=0),就可以得到圆周率前8位十进制精度。

拉马努金的公式看似杂乱无章,实际上与代数几何有极大关系,它深深影响了后人,比如德利涅,或怀尔斯。而以下的猜想是后人从拉马努金公式产生的:



名为Gourevitch猜想的问题似乎只是一道高数题,但是它却难以被攻克。



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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:33:22 | 显示全部楼层
孤独的跑步者



在操场上跑步的时候,你会感觉到孤独吗?也许会这样。在考一千米时,如果我脱离了大部队,我就会感到十分不安。而“孤独的跑步者”问题数学上对这个问题进行了探讨。

如果单位长度的操场上有k+1个跑步者(k>=1),而且每两个跑步者的跑步速度都不一样。如果一个跑步者离开其他所有跑步者的距离都大于等于1/(k+1),那么他就会感觉到孤独。问题是,是否能证明,所有跑步者都有孤独的时候?




它是丢番图逼近的一个问题,由 J. M. Wills在1967年提出。看似只是一个初中的问题,但是不是那么容易解决。现在最好的结果是k<=6,而对k>=7的问题仍然开放。

当然,也许证明也是容易的,因为每个人都有孤独的时候,而跑步者是人,所以跑步者都有孤独的时候,证毕

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:34:56 | 显示全部楼层
循环阿达马行列式



(图为阿达马行列式的图像表示)
这个在1963年由Ryser提出的问题至今悬而未决,该问题陈述如下:
在n>4时,是否存在仅有±1的数组(a[1],a[2]...a[n]),使得



(如果i+k大于n时,减去n,就是a[i+k]=a[i+k-n])
(该猜想认为,除了n=1或者n=4,没有其他的该类矩阵存在)

这个猜想与阿达马猜想(Hadamard Conjecture)密切相关,这个猜想也是一个看似简单的问题。

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:36:30 | 显示全部楼层
台球周期轨道问题





打台球的时候,我们经常要打到某些球。但是数学家们却不仅仅考虑这些

如果不考虑摩擦,我们能够打出一个周期性的轨道吗?也就是,首尾相连,入射出射角度相同?寻找这样的轨道似乎不是那么容易,就比如在三角形的情况



利用计算机似乎也不是那么容易搜寻结果,这个问题对钝角三角形尤为难做。
对于多边形的情况更为复杂,这样轨道存在与否至今无人能够给出确定答案。
现今最好的结果是,在三个角都小于100度的三角形,或者在每个角都是pi的有理数倍的多边形存在这样的轨道

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:37:33 | 显示全部楼层
并封闭问题



(图为六个集合的韦恩图)
也许你听说过连续统假设,被无穷的集合所折服,认为有限的集合没有什么有意思的地方,那你就错了。并封闭集问题是在1979年由Péter Frankl提出的,几乎只需要基础集合论的知识就能理解的问题却仍然开放。问题叙述如下:

一组集合被称为“并封闭”,就是一组其中两个集合的并仍然在这个集合组里。这个猜想认为,对于任意一个有限的集合组(集的个数有限),且该集合组里只有有限集。集合组里不止有空集,那么集合组里至少存在一个集合,使得它集合组里属于半数以上的集合。

这个猜想被证明对于很多特殊情况成立,比如Roberts & Simpson 2010年说明在至多46个集合时候,该猜想成立,而Bošnjak and Marković 2008说明对于任意并集只有少于11个元素的集合组成立,Sarvate and Renaud说明如果有一个集合只有1个或2个元素,那么该猜想成立。但一般的情况任然不由众人所知

有限与有限的结合仍然不能使这个问题变得更简单,实在是不可思议

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十年有你八方贺畔校庆60周年国庆70周年金色船说

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发表于 2013-12-6 16:39:13 | 显示全部楼层
不明觉厉   

这样的帖子在电子科大论坛里面有人回答不明觉厉,貌似不太好吧
  保护学校名声,不做榆木脑袋     搜“学校周边黑店汇总”有惊喜
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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:39:45 | 显示全部楼层
“帕斯卡三角形的神秘处”




帕斯卡三角形,又称杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。但你注意过帕斯卡三角形中的数字规律吗?尽管我们有了每一项的公式,但我们却并不能给出一些更加隐蔽的规律。

现在一个为人常知的规律是,帕斯卡三角形里藏有谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)这是一个很常见的分形图案



如果我们把帕斯卡三角形中所有偶数项剔除,我们就能得到这样一个谢尔宾斯基三角形



谢尔宾斯基三角形是三角形内部不断剔除中间的一部分得到的图案。

这个性质需要一定的证明,但下面一个性质就是一个猜想了。Singmaster猜想声称,在帕斯卡三角形里,除了1以外,其他数字出现的次数有一个上界(猜想这个上界是8)

现今知道出现次数最多的是



1971年,Singmaster说明N(a)=O(log(a)),N(a)指代a在Pascal三角出现的次数。
Abbot, Erdős,和 Hanson给出了现今最好的上界



但是是否有常数上界,常数上界是否为8至今仍是个谜

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:41:37 | 显示全部楼层
分割函数的故事





(Young图,表现了p(n)对与每个n的个数,例如p(5)=11就是第五个方形中有11个图形)
一个正整数可以写成一些正整数的和。最常见的问题就是有多少中方案把一个整数拆分成正整数的和?一般我们取如下条件:a[1]+...+a[k]=n
a[1]>=a[2]>=...>=a[k]
满足这样条件的数组个数,我们把它叫做p(n)
4可以用5种方法写成和式:4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。所以p(4)=5

利用这些性质,我们很容易就能写出它的生成函数,就是



别看p(n)的定义这么简单,但是它的很多性质很难被弄清楚。例如以下的性质依旧悬而未决:p(n)有一半的可能性是偶数。

什么是“有一半的可能性”呢?就是说,对于某个整数x,假如满足n<x,而且p(n)是偶数的n有m(x)个,那么当x趋向正无穷的时候,m(x)/x趋向1/2,也就是有一半的可能性是满足p(n)是偶数的。

大自然似乎在这点上对奇数偶数无有偏颇,但是它不是一个确定的定理,数学家们期望这个结论是对的,但是却不能说明它,实在是令人揪心

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:44:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 easymath3 于 2013-12-6 16:47 编辑

三立方和之困惑



1994年,怀尔斯证明了费马大定理,也就是说,不存在整数x,y,z,使得x^n+y^n=z^n,且n>=3.就是这样一个看似简单的问题,实际上却用了大量现代的工具,模形式,自守形式。。这足以说明,对于幂函数,我们都不能打包票说,我们已经了解了它。

也许有人会认为,这个定理的难度来自与n的任意性,如果n固定下来。比如n=3,n=4乃至n=79,我们都会有方法证明存在与否。这其实不尽然如此。可以想到著名的欧拉猜想:
如果



,那么n>=k,其中a(i)以及b都是整数
这个猜想在k=3成立(费马大定理的特殊情况),但是对于k=4,k=5,直到战后我们才知道它的答案。
k=5是错误的,由于



,这是1966年 L. J. Lander和T. R. Parkin 提出的。
而k=4的反例更为巨大,1986年借助高速计算机Noam Elkies说明了



.而对更大的k,是否还存在反例,至今未有定论。

即便是k=6,这个问题的解似乎就不得而知了。也许这是未知数个数在变化导致的复杂,我们再把范围缩小点,直到一个简单的多项式方程。不到100的系数却不是友好的答案
方程如下:是否存在整数x,y,z使得



33有什么神秘之处?不知道。但是可以肯定的是,33,42,74三个数在高速计算机如此普及的今天任然无人算出这个方程的答案。是无解还是有解甚至无数解?自变量与函数都有,但我们却不能得出确切的答案,这也许就是大自然的鬼斧神工了吧。
详情:asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/mathland/math04/matb0100.htm

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:48:11 | 显示全部楼层
有理数的稠密之路




怎么样用一个无理数构造一个在[0,1]内稠密而且均匀分布的数列?1909年与1910年,赫尔曼外尔以及谢尔宾斯基分别证明了,只需要一个无理数a,取它的两倍,三倍。。也就是说
a,2a,3a...构成的数列,它的小数部分就是一个在[0,1]内稠密而且均匀分布的数列
(PS:均匀分布意思是,任意取[0,1]内一线段,数列中数落到其中的概率恰为线段长度)

后来,外尔又证明了,a,2^2*a,3^2*a...也是均匀分布的,维诺格拉多夫证明p[n]a,其中p[n]是第n个素数,也是均匀分布的。这样的结果不断在被人改进。

有理数似乎被蔑视了?也许它过于简单?但后来人们发现,就算是最简单的有理数之一,3/2,居然也有一些不可思议的猜想。

大家都知道等比数列,1,3/2,(3/2)^2...这个等比数列有什么性质呢?有的人认为,这个数列的小数部分在[0,1]内稠密!(注意不是均匀分布,均匀分布是更强的性质)而就是这样“简单”的问题,却不是那么容易上手

我们知道,使b^n这个数列不均匀分布的集合在{b|b>1}的数域内测度为0。但是这能够说明3/2正好不在这个集合内吗?未必。但进展却不是那么容易。

1940年T. Vijayaraghavan证明了(3/2)^n mod 1有无穷多的聚点。而直到现在,这样的结果也只是被 Flatto, Lagarias 和 Pollington推广到聚点集的半径至少有1/3. 但是不是稠密?乃至均匀分布?没人能够给出肯定的答案

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循环节的复仇




1/n等于多少?在小学里,我们就学会了怎么样除,怎么样把循环节取出来。但是循环节真的就是这么容易上手的东西吗?

且不谈0.999...是否等于1的问题,就光说一些我们毫无争辩的循环节。比如说一个素数的循环节长度。对于1/7来说0.142857..循环节长度是6.而对于1/17来说,0.0588235294117647..循环节长度为16.

循环节长度一定就是p-1吗?不尽然1/11=0.09...那么循环节长度仅仅是2,1/13也说明了这点。

高斯首先提出这样一个问题:是否存在无穷个素数p,使得1/p循环节长度是p-1?我们不可能一个个去除下来,然后说明它是否有p-1的长度,虽然很多数学家试图解决,但宣告失败。而这样的问题在近代再次被推广。

阿廷(Artin)原根猜想,证明了这个猜想似乎就自然推出了高斯的猜想。阿廷在1927年给Helmut Hasse提出的。他指出,一个整数a,且a不是完全平方以及-1,存在无穷多个素数p,使得a是p的原根。

1967年, Hooley 在假设广义黎曼猜想成立的情况下证明了Artin猜想。R. Gupta 与 M. Ram Murty在1984年证明Artin猜想对于无穷多个a成立,他们利用类似筛法的方法。而Roger Heath-Brown在1986年把这个结果推广到至多两个素数让Artin猜想不成立。

但是仍然没有结果能够对一个确定的数,比如a=2,证明其满足Artin猜想。同时,我们也没法一个个说明高斯猜想的成立性。证明陷入了僵局

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葛立恒的质问




(这是我上次在交大环太平洋数学家大会拍的葛立恒,他同时又提出了这个问题)

罗纳德葛立恒,美国数学家,在在排程理论、拉姆齐理论、计算几何学和低差异数列均有建树。他以他的葛立恒数而闻名于世(有兴趣可以查一下,这个数实在太大,写在这有喧宾夺主之嫌)。但是他同时也对计算机在数学中的作用深有研究。
(PS:上次我提的问题http://tieba.baidu.com/p/2429394766 也是从他这里来的)

在2000年UCLA的一次演讲中,它就提出了我前面照片上的问题:x[n+1]=x[n]-1/x[n].在x[1]=2的时候,是否能够说明x[n]是无界的呢?

这个问题看上去很友好,但是实际上是动力系统里的一个难题。在不断迭代之后,计算机已经无法胜任继续的计算了(一点小的误差会导致答案变化极大!)这是一个计算机无法解决的问题,这也导致了葛立恒对计算机能解决这个问题与否的质问。

这个题目的难度,可见:www.math.grinnell.edu/~chamberl/papers/mario_digits.pdf

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多项式导数的奇迹——Casas-Alvero 猜想




在高中,我们基本上就知道了多项式,知道了多项式的求导。但是你知道多项式求导也会导致一个世界级难题吗?

在考虑(x-a)^n时候,很容易就能发现,(x-a)^n求1到n-1次导数,每次求导,所得的多项式都一个根为a。很容易就能得出结论:(x-a)^n与它的k次导数有共同的根。

反之呢?一个多项式与它的k次导数有共同的根(k是1到d-1,d是多项式的次数)是否就能够说明这个多项式就是(x-a)^n呢?当Eduardo Casas-Alvero在2001年提出这个猜想时,很多人都以为特别容易。但实际上这个问题还是披着羊皮的狼。

有的人把这个猜想从数域C上面拓宽到特征为0的数域,但这只能加大了难度。

在2007年Graf von Bothmer, Hans-Christian; Labs, Oliver; Schicho, Josef; van de Woestijne, Christiaan,能够说明,如果多项式次数是素数幂,或者素数幂的两倍,那么Casas-Alvero猜想成立。2011年Draisma, Jan; de Jong, Johan P验证了d<=11的情况。而在最近的2012年8月,Castryck, Wouter; Laterveer, Robert; Ounaïes, Myriam说明了d=12的情况。

也许就像有限群按阶数的分类,d如果是合数的话就更加难了吧。

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:51:27 | 显示全部楼层
丢番图方程的阴魂——xy+yz+zx表示法




数吧里玩过不等式的人都知道,xy+yz+zx是一些不等式里最喜欢出现的类型。不是出现在条件里,就是出现在不等式主体中。但大家是否见到这样的形式出现在整数方程中呢?整数方程中的丢番图方程吸引了广大数学家的注意,而这样一个形式的方程也不例外。

问题是这样的,有多少整数不能被表示成xy+yz+zx形式,其中x,y,z都是整数?

看过前面内容的我们知道,一半涉及到整数的多项式,无论怎么样形式简单,都不能予以小觑。这也不例外。

不过对于这样一个问题,近年的成果已经有重大突破,不过还差最后一步。一般认为,有18个(或者19个)数不能被表示成这个形式,它们分别是1, 2, 4, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102,130, 190, 210, 330, 462.还有一个可能是>10^10的一个数。这样的成果由J. Borwein 与 K. K. S. Choi. 或Maohua Le 各自独立得出。

不过数学家们讨厌这种不确定,对于>10^10的数是否存在,还是开放问题

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 楼主| 发表于 2013-12-6 16:52:28 | 显示全部楼层
保加利亚大使的多项式问题




Blagovest Sendov(图片左方)是保加利亚驻日本大使(2003年10月~2009年9月)。但他大使的身份之后,他同样也是一个数学家。不过这个问题是在他政治生涯之前提出的。1958年,当Sendov还在学术界工作的时候,他提出了这样的问题:

假如多项式



的根r[1],r[2]...r[n]都在|z|<=1的圆内。这是否能说明每一个根都离多项式的某个临界点(也就是导数为0的点)距离不超过1?

现在还是一个猜想的问题似乎挺不可思议的,它只有多项式,而且每一个根的范围都已经给出。但是我们却没法给出它确切的解答。Gauss–Lucas定理指出,临界点都在由r[1],r[2]...r[n]构成的凸包中,但是距离呢?我们还是没法说明每一个根都满足这个猜想的要求。

对于n>8的问题,还有待人们解决与发现。看来政治能力与学术能力并不相矛盾

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