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[数学] (转)用向量空间思想理解傅里叶变换

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发表于 2013-12-12 22:37:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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Gilbert Strang的《线性代数导论》对向量空间的描述以及对线性代数四个基本定理的证明优雅精妙,最近重读此书,受益良多。由于我本科是电子信息工程专业,信号与系统这门课是我们专业的基石,傅里叶变换是信号与系统分析的最核心的数学方法之一。首次接触的时候我和其他同学都对其数学原理感到一头雾水,如今我将用向量和空间的思想对它进行剖析,并揭示其本质,以离散时间情况下的傅氏变换为例。

1.离散傅里叶级数(DFS)是一种“换基”

假设一个离散时间信号的周期为,我们可以把它看作一个维复数空间的向量。默认情况下,我们使用标准正交基来表示它(下式中单位矩阵每列都是标准正交基):

所谓离散傅里叶级数,就是将标准正交基替换为离散时间复指数信号,并提取其坐标:

其中,是一个复指数向量(函数值按列写下):

之所以这些复指数向量(信号)能作为新的基向量,是因为这些它们之间两两正交,即:

注意,上式进行的是复向量的内积,指的是复数矩阵的共轭转置。接下来的问题是,各个新的基向量所对应的权重,即离散傅里叶级数的系数应该怎么求呢?答案呼之欲出--既然各个复指数向量之间相互正交,那么只要将原信号与做内积,就能够得到对应的,即:

所以,我们就得到了离散傅里叶级数的系数:

真是轻松又愉快,上式最右边就是我们熟悉的求DFS系数的公式了,而且,那个诡异的的源头也很显而易见,它来源于复指数向量的模,它们虽然相互正交,但并不是单位正交。这样,我们完成了第一个信号周期里的推导,其它周期中自然也成立。
2.离散时间傅里叶变换(DTFT)是傅里叶级数的极限情况

当信号的周期趋于无穷大时,信号向量的维度也趋于无穷大。于是描述信号所需的基向量数目,即离散傅里叶级数中的系数个数也趋于无穷大。于是基向量的权值分布变成了一条周期为的连续的曲线,即DTFT:

而反变换则由求和进化为积分:

DTFT用以分析非周期信号的频谱。
3.离散傅里叶变换(DFT)在时域混叠时是一种“求投影向量坐标”

因为现实中的信号都是有限长的,我们完全可以把它当做一个以它长度为周期的周期信号的一部分,既然变成了周期信号,就可以求DFS,我们可以直接求,也可以用DFT。离散傅里叶变换(DFT)是离散时间傅里叶变换的等间隔采样:

其中是采样的点数。将DFT写成矩阵形式:

因为由之前的讨论已知矩阵的每一列都相互正交,所以在时,是一个“正交矩阵”(加引号是因为真正的正交矩阵还要求列向量的归一化,但这里列向量的长度是),它的列向量构成了DFS中讨论出现过的那一组基向量,此时将上式两端左乘,由正交阵的可逆性,得到:

将其展开就可以得到离散傅里叶级数的系数。所以在频域采样点数等于信号长度时,DFT的变换矩阵是可逆的,也就是说,此时DFT是可逆的。

时,矩阵变成了长方形,此时它不再可逆,的数学意义也退化为向量在由各列张成的子空间上的投影的坐标(基向量的权值),而不再是简单的基向量的变换。由于投影必将损失原向量的一部分分量,所以此时如果进行离散傅里叶反变换(IDFT):

得到的只能是原向量在矩阵的列空间的投影。(由线性代数理论可知是投影矩阵),从信号的角度上看,此时信号发生了混叠。当时,可以把原信号看成一个周期为的信号(端点处补零),显然信号的信息不会丢失。
4.结语除傅里叶变换外,还有许多数学变换,如小波变换等。假设变换是可逆的,它们本质上都是一种“换基”的操作,相当于对同一个数据,采用不同的角度观察,就像人类用眼睛分辨色彩,用耳朵分辨声音,用舌头分辨味道,虽然不同的器官感受不一,但是我们研究的都是同一个世界,同一组数据。


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 楼主| 发表于 2013-12-12 22:38:56 | 显示全部楼层
@Skyy  我当时想的就是这个意思,不过没有作者功力这么深,能表达的这么清晰。 而且我当时没想到第三部分,现在还在看第三部分。。。
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发表于 2013-12-12 22:43:12 | 显示全部楼层
楼主的班号和我当初是一样滴……
不过我是25013060
(虽然已经没有很多精力看懂复杂的数学公式了……)
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发表于 2013-12-12 22:43:18 | 显示全部楼层
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发表于 2013-12-12 22:54:38 | 显示全部楼层
2901306015 发表于 2013-12-12 14:38
@Skyy  我当时想的就是这个意思,不过没有作者功力这么深,能表达的这么清晰。 而且我当时没想到第三部分, ...

学习!数学真美
万头攒动火树银花之处不必找我
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发表于 2013-12-13 00:06:25 | 显示全部楼层
风轻 发表于 2013-12-12 22:43
楼主的班号和我当初是一样滴……
不过我是25013060
(虽然已经没有很多精力看懂复杂的数学公式了……) ...

轻MM还在逛河畔啊~
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发表于 2013-12-13 18:57:52 | 显示全部楼层
果然像花儿一样美
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asus 发表于 2013-12-13 00:06
轻MM还在逛河畔啊~

硕硕……累啊
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发表于 2013-12-14 12:28:12 | 显示全部楼层
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lbk396499229 该用户已被删除
发表于 2013-12-20 19:21:32 | 显示全部楼层
看完楼主的帖子,我的心情竟是久久不能平复,正如老子所云:大音希声,大象希形。我现在终于明白我缺乏的是什么了,正是楼主那种对真理的执着追求和楼主那种对理想的艰苦实践所产生的厚重感。面对楼主的帖子,我震惊得几乎不能动弹了,楼主那种裂纸欲出的大手笔,竟使我忍不住一次次的翻开楼主的帖子,每看一次,赞赏之情就激长数分,我总在想,是否有神灵活在它灵秀的外表下,以至能使人三月不知肉味,使人有余音穿梁,三日不绝的感受。楼主,你写得实在是太好了。我唯一能做的,就只有把这个帖子顶上去这件事了。
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发表于 2014-2-5 20:50:18 | 显示全部楼层
图怎么挂了,求发一份电子档
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发表于 2014-2-5 21:01:23 | 显示全部楼层
图挂了发个电子档吧
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bujunjie 发表于 2014-2-5 20:50
图怎么挂了,求发一份电子档

抱歉,博主的个人网站挂了,我也没有电子档,如果你找到了,欢迎共享,我来加水~
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 楼主| 发表于 2014-2-5 21:06:05 | 显示全部楼层
yzy553 发表于 2014-2-5 21:01
图挂了发个电子档吧

同上~
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发表于 2014-2-12 19:57:05 来自手机 | 显示全部楼层
针对不同的应用场景,采用不同的基!傅立叶变换的基决定了它不适合表示
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发表于 2014-4-4 11:35:09 | 显示全部楼层
版主,这篇帖子的图片现在无法显示 啊,能否把原稿发份给我学习学习,谢谢!
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 楼主| 发表于 2014-4-4 12:25:19 | 显示全部楼层
wsxuezha 发表于 2014-4-4 11:35
版主,这篇帖子的图片现在无法显示 啊,能否把原稿发份给我学习学习,谢谢! ...

抱歉原稿我找过,实在是找不到了。。。
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发表于 2014-4-4 14:59:05 | 显示全部楼层
2901306015 发表于 2014-4-4 12:25
抱歉原稿我找过,实在是找不到了。。。

哦,谢谢~
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