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[数学] 怎样证明 0.999999... = 1?(转)

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发表于 2014-6-13 21:03:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实,下面举出三种有代表性的初等思路:

思路一:
设 a=0.999...
则 10a=9.999...
于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,
因此 a=1.
思路二:
由于 1/3=0.333...,
所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...
思路三:
0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列

的所有项之和.

根据等比数列的求和公式,
但是,需要强调的是,以上三种思路可以用来帮助你直观理解,但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是,“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的,你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算,所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”,而不能叫做“严格证明”。

要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明,我们首先需要理解从有理数构造实数的办法,这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数,而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。

下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。

设两个非空有理数集合 A 和 B 满足:A∪B 为全体有理数,且对任意 a∈A 和 b∈B,都有 a<b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 Dedekind 分割,简称分割,记为 A/B。

这一定义包含两层意思:
  • 对任何一个有理数 a,它要么在 A 中, 要么在 B 中,但不会同时在 A 和 B 中;
  • A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。
所以,在逻辑上,有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一:
  • A 有最大数,B 没有最小数;
  • A 没有最大数,B 有最小数;
  • A 没有最大数,B 也没有最小数;
  • A 有最大数,B 也有最小数。
但实际上,第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a,B 有最小数 b,根据分割的定义可知 a<b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数,并且

因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中,这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。

这样,有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况:
  • A 有最大数 a,B 没有最小数。例如:
  • A 没有最大数,B 有最小数 b。例如:
  • A 没有最大数,B也没有最小数。
对第 1 种情况,我们称分割 A/B 确定了有理数 a,例如上面给的例子就确定了有理数 0;
对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b,例如上面给的例子就确定了有理数 1。
而对第 3 种情况,即 A 没有最大数,B 也没有最小数,下面就是一个典型的例子:


此时分割 A/B 没有确定任何有理数,即集合 A 和 B 之间存在一个"空隙",于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个"空隙"。在这个例子中,表示这个"空隙"的无理数就是

这样,我们就得到了无理数的严格定义:
设 A/B 是有理数集的一个分割,如果 A 中没有最大数,B 中没有最小数,则称分割 A/B 确定了一个无理数 c,c 大于 A 中的任何有理数,同时小于 B 中的任何有理数。

例如,在刚才的例子中,分割 A/B 所确定的无理数大于 A 中的任何有理数,同时小于 B 中的任何有理数。

需要注意的是,符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的否则,假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d,不妨设 c<d。取正整数 n 满足

则 nd-nc>1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc<m<nd(因为 nc 和 nd 的距离大于1)。于是

由于 c 大于 A 中的任何有理数,而 d 小于 B 中的任何有理数,所以有理数既不在 A 中,也不在 B 中,这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。

从而我们就可以得到实数的严格定义:
由全体有理数,以及有理数的分割所确定的全体无理数,构成的集合成为实数集。
跟有理数的分割类似,我们可以定义出实数的分割
设两个非空实数集合 A 和 B 满足:A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B,都有 a<b。则称 A 和 B 构成实数集的一个分割,同样记为 A/B。

实数集和有理数集的一个本质区别是:实数集是完备的。这可以用下面的 Dedekind 分割定理来表示:
设 A/B 是实数集的一个分割,则或者 A 有最大数,或者 B 有最小数。
这个定理说明,实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况,即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。

换句话说,实数集中没有"空隙"数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。

这样,我们得到了以下结论:
  • 每个有理数集的分割确定唯一一个实数;
  • 两个相同的有理数集的分割所确定的实数一定是相同的;
  • 如果两个实数不相等,那么确定它们的分割一定是不同的。
在有了上面的准备之后,我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。

1=0.999...的严格证明:
设 t=0.999...,作两个有理数集的分割


根据前面的讨论,分割 A/B 确定了实数 t=0.999... (我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数),分割 C/D 确定了有理数 1。

为证明 t=1,我们只需要证明这两个分割是相同的,即证明 A=C。

若有理数 x∈A,则显然有 x<1,于是 x∈C。这说明 。下面只需证明

若有理数 x∈C,则 x<1。不妨设 x>0。根据有理数的定义,我们可以把 x 用分数的形式表示为

既然0<x<1,则必有p<q。于是由

可知存在正整数 n 使得

于是

既然 x<t,这就说明 x∈A。从而我们就证明了

综上所述,我们就得到了 A=C,从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割,因此 0.999...=t=1。

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发表于 2014-6-13 21:18:05 | 显示全部楼层
看来还是乘除法出现了问题 吓拉我一跳 初等方法居然证明的如此顺理成章
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在小学5年级的时候,老师讲了这个,把我惊呆了
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这两个数之间差一个无穷小吧,应该是不相等的
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发表于 2014-6-14 15:53:41 | 显示全部楼层
淅雨清空 发表于 2014-6-14 14:48
这两个数之间差一个无穷小吧,应该是不相等的

上面不是已经严格证明相等了么?


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发表于 2014-6-14 18:01:03 | 显示全部楼层
super1991 发表于 2014-6-14 15:53
上面不是已经严格证明相等了么?

这个,,,按微机分意思应该一下就看的出这两个不相等吧,两个之间有个无穷小不是吗
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super1991 发表于 2014-6-14 15:53
上面不是已经严格证明相等了么?

感觉不是很严格
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发表于 2014-6-14 18:07:44 | 显示全部楼层
两个数之差无穷小不代表两个数相等
如果假设两个数相等,那没必要证明0.9999…和1之间的关系
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能说屌炸天么
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发表于 2014-6-14 18:09:21 | 显示全部楼层
两个数之差无穷小不代表两个数相等
如果假设两个数相等,那没必要证明0.9999…和1之间的关系
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本帖最后由 super1991 于 2014-6-14 19:43 编辑
淅雨清空 发表于 2014-6-14 18:01
这个,,,按微机分意思应该一下就看的出这两个不相等吧,两个之间有个无穷小不是吗 ...

数学上可不能用“看出来”哦...
如何证明两个数之间有个无穷小?
无穷小到底是什么?有个无穷小就一定说明不相等么?

我还是更相信严格的证明
这就是数学的魅力
虽然我也没仔细看楼主的证明///


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super1991 发表于 2014-6-14 19:41
数学上可不能用“看出来”哦...
如何证明两个数之间有个无穷小?
无穷小到底是什么?有个无穷小就一定说明 ...

说得好。不过本屌感觉以后的工作中可能用不到这些抽象的概念了
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发表于 2014-6-15 12:03:38 | 显示全部楼层
@wolf 发表于 2014-6-15 01:44
说得好。不过本屌感觉以后的工作中可能用不到这些抽象的概念了

我也感觉用不到...
毕竟不是搞数学的哇~~
但是平时看看还是挺有意思的~~~


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dzkd201308 该用户已被删除
发表于 2014-6-15 19:12:48 | 显示全部楼层
这么高大上
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aream01 该用户已被删除
发表于 2014-6-15 22:55:52 | 显示全部楼层
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